ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Smith-Normalform</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Smith-Normalform</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Smith-Normalform ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine <a href="Normalform" title="Normalform">Normalform</a>, die für beliebige <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a> mit Einträgen aus einem <a href="Hauptidealring" title="Hauptidealring">Hauptidealring</a> definiert ist. Die Smith-Normalform einer Matrix ist eine <a href="Diagonalmatrix" title="Diagonalmatrix">Diagonalmatrix</a>, die aus der Ausgangsmatrix durch <a href="Matrizenmultiplikation" title="Matrizenmultiplikation">Multiplikation</a> von links und von rechts mit je einer <a href="Regul%C3%A4re_Matrix" title="Reguläre Matrix">regulären</a> <a href="Quadratische_Matrix" class="mw-redirect" title="Quadratische Matrix">quadratischen Matrix</a> erhalten wird. Die Einträge dieser Diagonalmatrix werden Elementarteiler oder invariante Faktoren der Ausgangsmatrix genannt. Die Smith-Normalform ist nach dem englischen Mathematiker <a href="Henry_John_Stephen_Smith" title="Henry John Stephen Smith">Henry John Stephen Smith</a> benannt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (m\times n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (m\times n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aba857b5d17e977455273ca9af1baf4da35de324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.085ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (m\times n)}" loading="lazy">-Matrix über einem Hauptidealring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">, die nicht gleich der <a href="Nullmatrix" title="Nullmatrix">Nullmatrix</a> ist, dann existieren eine reguläre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (m\times m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (m\times m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc020afed5e44fb2479cc66c4a6945b1f7d6ad41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (m\times m)}" loading="lazy">-Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> und eine reguläre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n\times n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n\times n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0e369b52ee16c33d83f7cd0eb0f562fd91b7f3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.439ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n\times n)}" loading="lazy">-Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">, sodass

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\cdot A\cdot T={\begin{pmatrix}\alpha _{1}&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &&&\vdots \\\vdots &\ddots &\alpha _{r}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &0&\ddots &\vdots \\\vdots &&&\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f88053307533c51ae94cca73a7cb65d592c0c58f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.338ex; width:43.386ex; height:25.843ex;" alt="{\displaystyle S\cdot A\cdot T={\begin{pmatrix}\alpha _{1}&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &&&\vdots \\\vdots &\ddots &\alpha _{r}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &0&\ddots &\vdots \\\vdots &&&\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt. Für die <a href="Hauptdiagonale" title="Hauptdiagonale">Hauptdiagonalelemente</a> soll dabei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}\mid \alpha _{i+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}\mid \alpha _{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5af5414e99301fd24830ac00ab16ed55dc07545a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.612ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}\mid \alpha _{i+1}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\ldots ,r-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\ldots ,r-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52809ab2e8f087f0126958a17831735bfbcf9f04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.293ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\ldots ,r-1}" loading="lazy"> gelten. Diese Darstellung wird Smith-Normalform der Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> genannt. Die Einträge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}" loading="lazy"> sind bis auf Multiplikation mit einer <a href="Einheit_(Mathematik)" title="Einheit (Mathematik)">Einheit</a> eindeutig definiert und werden Elementarteiler oder invariante Faktoren der Matrix genannt. Die Elementarteiler sind dabei (bis auf Multiplikation mit einer Einheit) durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}={\frac {d_{i}(A)}{d_{i-1}(A)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84b99cffaf861be6fa04fc677ea023f8f96f4c90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:13.883ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}={\frac {d_{i}(A)}{d_{i-1}(A)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{i}(A)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{i}(A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ddb56523ab035e24aeca7232fe31009603f39be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.561ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d_{i}(A)}" loading="lazy"> der <a href="Gr%C3%B6%C3%9Fter_gemeinsamer_Teiler" title="Größter gemeinsamer Teiler">größte gemeinsame Teiler</a> aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i\times i)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i\times i)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f08f6b89b718c920f8691eec35d6eb3014563e7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.255ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i\times i)}" loading="lazy">-<a href="Minor_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Minor (Mathematik)">Minoren</a> der Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Algorithmus">Algorithmus</h2></div>

Der schwierige Teil bei der Ermittlung der Smith-Normalform ist die Bestimmung zweier Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">, sodass das Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S\cdot A\cdot T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\cdot A\cdot T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18fa605f8de992823a3de0b240f396e1704154d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.237ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S\cdot A\cdot T}" loading="lazy"> eine Diagonalmatrix ergibt. Hierzu wird die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> sukzessive auf Diagonalgestalt gebracht, wobei in jedem Schritt <a href="Elementarmatrix" title="Elementarmatrix">elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen</a> durchgeführt werden. Parallel dazu werden die Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ausgehend von <a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrizen</a> passender Größe sukzessive umgeformt. Dabei wird bei einer Zeilenumformung die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> von rechts und bei einer Spaltenumformung die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> von links mit einer entsprechenden Elementarmatrix multipliziert. Für die in einem Schritt modifizierten Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A',S',T'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A',S',T'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bb7d5f00c4a21198640addae3b15563a442aa8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.107ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A',S',T'}" loading="lazy"> gilt dann die Beziehung

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'=S'\cdot A\cdot T'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/734248b3e68b83b2d3ca8912d632ee2c5a84ee93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.239ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'=S'\cdot A\cdot T'}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei werden nur invertierbare Zeilen- und Spaltenoperationen durchgeführt, sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> regulär bleiben. Ausgehend von der Diagonalgestalt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> wird dann schließlich die Smith-Normalform ermittelt. Um eine Matrix in Smith-Normalform zu bringen, werden für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=1,\ldots ,m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=1,\ldots ,m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94b540dc144e2f1f23837f060c538f5d362e2f27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t=1,\ldots ,m}" loading="lazy"> konkret die folgenden Schritte durchgeführt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schritt_1:_Wahl_des_Pivots">Schritt 1: Wahl des Pivots</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a6eb070347abec85f30f32650ac8b56fd99498c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:1.811ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{t}}" loading="lazy"> der kleinste Spaltenindex derjenigen Spalten von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, die mindestens einen Eintrag ungleich null aufweisen, wobei die Suche für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/730f3de856e6f8850f89a9b990cfc7f7ba7c28bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t>1}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{t-1}+1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{t-1}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c09f5e4cd3753f9763fc15825986849e7ee0ed0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:7.914ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{t-1}+1}" loading="lazy"> gestartet wird. Nun wird gefordert, dass für das Diagonalelement

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{t,j_{t}}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd2f750c0ddbe4f27a5366f8ff3b26b4163eaacc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{t,j_{t}}\neq 0}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt. Ist dies nicht der Fall, dann gibt es nach Voraussetzung ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k,j_{t}}\neq 0}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k,j_{t}}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed75271af6016d4a689e351c71c12ec5563c2b3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.361ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{k,j_{t}}\neq 0}" loading="lazy">. Nun werden die beiden Zeilen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> durch Multiplikation mit einer <a href="Permutationsmatrix" title="Permutationsmatrix">Permutationsmatrix</a> vertauscht, sodass auf der Diagonale der aktuellen Spalte ein Element ungleich null zu stehen kommt. Dieses Element wird dann <a href="Pivotelement" title="Pivotelement">Pivotelement</a> genannt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schritt_2:_Verbesserung_des_Pivots">Schritt 2: Verbesserung des Pivots</h3></div>

Gibt es nun einen Eintrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k,j_{t}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k,j_{t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10650d0b6fafe09528d37cdd956a0174549f6fe8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.1ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{k,j_{t}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{t,j_{t}}\nmid a_{k,j_{t}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{t,j_{t}}\nmid a_{k,j_{t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a91e7a5227491c167e165d2f4a9f83fc496e579.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.874ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{t,j_{t}}\nmid a_{k,j_{t}}}" loading="lazy">, dann sei

<mrow>

<mrow>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =\operatorname {ggT} \left(a_{t,j_{t}},a_{k,j_{t}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27285e18032b8261bb5fa1f2a550c121417f426f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.534ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \beta =\operatorname {ggT} \left(a_{t,j_{t}},a_{k,j_{t}}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente eines Hauptidealrings lässt sich durch das <a href="Lemma_von_B%C3%A9zout" title="Lemma von Bézout">Lemma von Bézout</a> darstellen. Es existieren dann Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ,\tau \in R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ,\tau \in R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/074b35e1ca464a4e0c75e4c65b775169eff8be44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.17ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma ,\tau \in R}" loading="lazy">, sodass

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =a_{t,j_{t}}\cdot \sigma +a_{k,j_{t}}\cdot \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b59346d3a9521fd794553673b1b0f24bdab77c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta =a_{t,j_{t}}\cdot \sigma +a_{k,j_{t}}\cdot \tau }" loading="lazy"></dd></dl>

gilt. Mittels einer Zeilenumformung wird nun das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">-fache der Zeile <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> zu dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy">-fachen der Zeile <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> addiert. Erfüllen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> obige Gleichung, dann gilt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =a_{t,j_{t}}/\beta }">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =a_{t,j_{t}}/\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b53b8f74660caeddea8e9480d9c325e02bc1655f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.917ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha =a_{t,j_{t}}/\beta }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =a_{k,j_{t}}/\beta }">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =a_{k,j_{t}}/\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/763b44617f2204433c26c1b7e08d72b70978c4eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.955ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \gamma =a_{k,j_{t}}/\beta }" loading="lazy"> (diese Divisionen sind aufgrund der Definition von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> möglich)

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma \cdot \alpha +\tau \cdot \gamma =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e32e0e8cda88ecbad08a38b78b942e08e17090c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.741ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma \cdot \alpha +\tau \cdot \gamma =1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Matrix

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}={\begin{pmatrix}\sigma &\tau \\-\gamma &\alpha \\\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57e4fbb6d7a4cb84b941b6c44a084817351dd24e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.789ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L_{0}={\begin{pmatrix}\sigma &\tau \\-\gamma &\alpha \\\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist damit regulär mit der <a href="Inverse_Matrix" title="Inverse Matrix">Inversen</a>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}^{-1}={\begin{pmatrix}\alpha &-\tau \\\gamma &\sigma \\\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b8241cfdc36411b38699a6e56e57b4bbca0e043.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.007ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L_{0}^{-1}={\begin{pmatrix}\alpha &-\tau \\\gamma &\sigma \\\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Indem die Einträge der Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db742b8c210fc611329a4c2dcc3af4b4e1a110cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{0}}" loading="lazy"> in die Zeilen und Spalten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> einer Einheitsmatrix eingefügt werden, erhält man die Elementarmatrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy">. Das Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\cdot A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\cdot A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15a123900f620a0415854e02bafc7b476ed1358b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.005ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L\cdot A}" loading="lazy"> besitzt dann an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t,j_{t})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t,j_{t})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bfb7cd0f79e6ccb3c84ce19734d4b60a0b9120b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (t,j_{t})}" loading="lazy"> den Eintrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> (und aufgrund der Wahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (k,j_{t})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (k,j_{t})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/854600be5af6e436b9d928dcdc6bbaab0e3c68af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.838ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (k,j_{t})}" loading="lazy"> den Eintrag null, was praktisch, aber nicht wesentlich für den <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmus</a> ist). Dieser neue Eintrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> teilt den vorigen Eintrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{t,j_{t}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{t,j_{t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b05aa4223b5346b25881c6b852589963284a7c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.837ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{t,j_{t}}}" loading="lazy">. Dieser Schritt wird nun solange wiederholt, bis keine Verbesserung eintritt. Bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df959c131b681adc275166ea756a8b5b0e9e420f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.088ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (a)}" loading="lazy"> die Anzahl der <a href="Primfaktor" class="mw-redirect" title="Primfaktor">Primfaktoren</a> eines Elements <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, dann gilt nach jedem Schritt

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (\beta )<\delta (a_{t,j_{t}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96621907ad8e0a9d541ebe10dbdea14300c9c4f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.983ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \delta (\beta )<\delta (a_{t,j_{t}})}" loading="lazy">,</dd></dl>

daher terminiert der Prozess nach endlich vielen Schritten. Das Ergebnis ist eine Matrix mit einem Eintrag an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t,j_{t})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t,j_{t})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bfb7cd0f79e6ccb3c84ce19734d4b60a0b9120b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (t,j_{t})}" loading="lazy">, der alle Einträge in der Spalte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a6eb070347abec85f30f32650ac8b56fd99498c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:1.811ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{t}}" loading="lazy"> teilt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schritt_3:_Elimination_von_Einträgen">Schritt 3: Elimination von Einträgen</h3></div>

Durch Addition entsprechender Vielfache der Zeile <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> werden nun alle Einträge in der Spalte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a6eb070347abec85f30f32650ac8b56fd99498c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:1.811ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{t}}" loading="lazy"> außerhalb der Diagonale zu null gesetzt. Dies kann ebenfalls durch Linksmultiplikation mit entsprechenden Elementarmatrizen erreicht werden. Um die Matrix jedoch auf volle Diagonalgestalt zu bringen, müssen auch die Einträge ungleich Null in der Zeile <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> eliminiert werden. Dies kann durch Wiederholung von Schritt 2 für die Spalten der Matrix in Kombination mit Rechtsmultiplikationen erreicht werden. Allerdings kann dies dazu führen, dass Nulleinträge, die in einer vorhergegangenen Anwendung von Schritt 3 erzeugt wurden, wieder ungleich null werden.

Die <a href="Ideal_(Ringtheorie)" title="Ideal (Ringtheorie)">Ideale</a>, die durch die Elemente an der Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t,j_{t})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t,j_{t})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bfb7cd0f79e6ccb3c84ce19734d4b60a0b9120b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (t,j_{t})}" loading="lazy"> gebildet werden, erzeugen jedoch eine <a href="Ordnungsrelation" title="Ordnungsrelation">aufsteigende Kette</a>, da die Einträge aus einem späteren Schritt immer die Einträge aus einem früheren Schritt teilen. Nachdem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> <a href="Noetherscher_Ring" title="Noetherscher Ring">noethersch</a> ist, werden die Ideale ab einem gewissen Schritt stationär und ändern sich nicht mehr. Das bedeutet, dass schließlich der Eintrag an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t,j_{t})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t,j_{t})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bfb7cd0f79e6ccb3c84ce19734d4b60a0b9120b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (t,j_{t})}" loading="lazy"> nach einer Anwendung von Schritt 2 alle Einträge ungleich null in der gleichen Spalte und Zeile teilt. Dann können diese Einträge eliminiert werden, wobei die bereits erzeugten Nulleinträge erhalten bleiben. Nun muss nur noch der <a href="Blockmatrix" title="Blockmatrix">Block</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> rechts unterhalb von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t,j_{t})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t,j_{t})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bfb7cd0f79e6ccb3c84ce19734d4b60a0b9120b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (t,j_{t})}" loading="lazy"> diagonalisiert werden. Der Algorithmus wird mit dieser Teilmatrix mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab2785d8415d6902b0c93efe1419c4bc3ce4643d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.842ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t+1}" loading="lazy"> bei Schritt 1 weitergeführt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schritt_4:_Normierung">Schritt 4: Normierung</h3></div>

Die wiederholte Anwendung der Schritte 1 bis 3 führt schließlich zu einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (m\times n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (m\times n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aba857b5d17e977455273ca9af1baf4da35de324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.085ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (m\times n)}" loading="lazy">-Matrix, bei der nur die Einträge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (l,j_{l})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (l,j_{l})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c460c490698538821ca562482e33965446f2408.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (l,j_{l})}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{1}<\ldots <j_{r}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{1}<\ldots <j_{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb9b7070238def77bc11e6a74db61a19123159d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:12.891ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{1}<\ldots <j_{r}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\leq \min(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\leq \min(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b850bea8cb08ec5fa861f91e5db48ae29a24b719.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.301ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r\leq \min(m,n)}" loading="lazy"> ungleich null sind. Die Nullspalten dieser Matrix werden nun nach rechts verschoben, sodass die Einträge ungleich null genau an den Positionen

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,i)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/899c08ccec9bf245d850a44ba8a5275bee6b3b8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,i)}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\ldots ,r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\ldots ,r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2be33d7fc67e3a9c77e1fd1e94f0c21160221988.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.29ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\ldots ,r}" loading="lazy"> liegen. Diese Einträge seien nun durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}" loading="lazy"> bezeichnet.

Die Teilbarkeitsforderung der Smith-Normalform an die Diagonalelemente ist jedoch möglicherweise noch nicht erfüllt. Gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}\nmid \alpha _{i+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}\nmid \alpha _{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eac8e8c96aa3b613681c82d905d5c345a4bae6d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.612ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}\nmid \alpha _{i+1}}" loading="lazy"> für einen Index <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">, dann kann dies durch Zeilen- und Spaltenumformungen folgendermaßen behoben werden. Zunächst wird die Spalte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fe1bfc8314922e4c3fdb4e8eceb20a00b4f011d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.805ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle i+1}" loading="lazy"> zur Spalte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> addiert, sodass ein Eintrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8146bfd44a152631c10b828416e543b40be82218.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.388ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i+1}}" loading="lazy"> in der Spalte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> entsteht, ohne dass der Diagonaleintrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}" loading="lazy"> an der Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i,i)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,i)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/899c08ccec9bf245d850a44ba8a5275bee6b3b8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,i)}" loading="lazy"> verändert wird. Nun wird wie in Schritt 2 mit einer Zeilenumformung der Eintrag an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i,i)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,i)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/899c08ccec9bf245d850a44ba8a5275bee6b3b8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,i)}" loading="lazy"> gleich

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =\operatorname {ggT} (\alpha _{i},\alpha _{i+1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6300ae71b10aa04d472ca434e5fe8a983903baa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta =\operatorname {ggT} (\alpha _{i},\alpha _{i+1})}" loading="lazy"></dd></dl>

gesetzt. Schließlich wird wie in Schritt 3 die Matrix wieder diagonalisiert. Nachdem der neue Eintrag an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i+1,i+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i+1,i+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84936c161b1bc1391ed217827460ee008e1643dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.454ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i+1,i+1)}" loading="lazy"> eine <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> der ursprünglichen Einträge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8146bfd44a152631c10b828416e543b40be82218.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.388ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i+1}}" loading="lazy"> ist, muss er durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> teilbar sein. Durch diese Operation ändert sich der Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (\alpha _{1})+\cdots +\delta (\alpha _{r})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (\alpha _{1})+\cdots +\delta (\alpha _{r})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c23d3238c2f6db250503855394e90e4962026dec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.123ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (\alpha _{1})+\cdots +\delta (\alpha _{r})}" loading="lazy"> nicht (er entspricht dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> der Determinante der oberen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r\times r)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r\times r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b7fbc6212bc7a3d2989b54f1a74b9ec0e15b7a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.747ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r\times r)}" loading="lazy">-Teilmatrix), allerdings verringert sich der Wert von

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}(r-j)\delta (\alpha _{j})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49a8552494ae0bcadebd8999f698dae9702434cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:15.267ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}(r-j)\delta (\alpha _{j})}" loading="lazy">,</dd></dl>

dadurch dass die Primfaktoren nach rechts verschoben werden. Daher sind nach endlich vielen Anwendungen keine weiteren Operationen möglich, was bedeutet, dass wie gewünscht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{1}\mid \alpha _{2}\mid \cdots \mid \alpha _{r}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{1}\mid \alpha _{2}\mid \cdots \mid \alpha _{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c595acf4f348659312ae49cc9b1f077331fecba4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.08ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{1}\mid \alpha _{2}\mid \cdots \mid \alpha _{r}}" loading="lazy"> erreicht wurde. Nachdem alle Zeilen- und Spaltenumformungen dieses Prozesses invertierbar sind, müssen invertierbare Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S,T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S,T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4972a806d8142ce359a93ddb4c99340d62ef774e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.169ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S,T}" loading="lazy"> existieren, sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S\cdot A\cdot T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\cdot A\cdot T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18fa605f8de992823a3de0b240f396e1704154d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.237ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S\cdot A\cdot T}" loading="lazy"> die Smith-Normalform ergibt. Insbesondere bedeutet dies, dass die Smith-Normalform immer existiert, was in der Definition noch ohne Beweis angenommen wurde.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

Als Beispiel wird die Smith-Normalform der Matrix

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&4&4\\-6&6&12\\10&-4&-16\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16f9955d704c7b7e33263582b414fe155f93a9d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:24.379ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&4&4\\-6&6&12\\10&-4&-16\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

über dem Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=\mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=\mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7d60fc180e76c47f663220cdb9ff8c6f564c0f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.413ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R=\mathbb {Z} }" loading="lazy"> berechnet. Die folgenden Matrizen sind die Zwischenschritte des Smith-Algorithmus angewandt auf diese Matrix:

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mtd>

<mtd>

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<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mtr>

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</mtd>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to {\begin{pmatrix}2&0&0\\-6&18&24\\10&-24&-36\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&18&24\\0&-24&-36\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&18&24\\0&-6&-12\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac97840b2c4fd3ecc2f232db4a5cb92ddd92447d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:67.519ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \to {\begin{pmatrix}2&0&0\\-6&18&24\\10&-24&-36\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&18&24\\0&-24&-36\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&18&24\\0&-6&-12\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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<mtd>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

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</mtd>

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</mtr>

<mtr>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

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</mtd>

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</mtr>

<mtr>

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</mtd>

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<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&6&12\\0&18&24\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&6&12\\0&0&-12\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&6&0\\0&0&12\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/480b949adfb1cb4f5b0387dc81daa8376b5145ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:55.508ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&6&12\\0&18&24\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&6&12\\0&0&-12\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}2&0&0\\0&6&0\\0&0&12\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die letzte Matrix stellt dann die Smith-Normalform von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" loading="lazy"> dar. Die invarianten Faktoren von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> sind damit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39d81124420a058a7474dfeda48228fb6ee1e253.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 6}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 12}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 12}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 12}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwendung">Verwendung</h2></div>

Die Smith-Normalform ist nützlich für die Berechnung der <a href="Homologie_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Homologie (Mathematik)">Homologie</a> eines <a href="Kettenkomplex" title="Kettenkomplex">Kettenkomplexes</a>, wenn seine <a href="Modul_(Mathematik)" title="Modul (Mathematik)">Moduln</a> endlich erzeugt sind. In der <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> kann die Smith-Normalform beispielsweise eingesetzt werden, um die Homologie eines <a href="Simplizialkomplex" title="Simplizialkomplex">Simplizialkomplexes</a> oder eines <a href="Zellkomplex" title="Zellkomplex">Zellkomplexes</a> über den <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzen Zahlen</a> zu berechnen, da die Randoperatoren solcher Komplexe gerade durch ganzzahlige Matrizen dargestellt werden. Sie kann auch verwendet werden, um den <a href="Hauptidealring#Endlich_erzeugte_Moduln:_Invariante_Faktoren" title="Hauptidealring">Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über einem Hauptidealring</a> zu beweisen.

Die Smith-Normalform kann auch verwendet werden, um zu ermitteln ob zwei Matrizen über dem gleichen <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> zueinander <a href="%C3%84hnlichkeit_(Matrix)" title="Ähnlichkeit (Matrix)">ähnlich</a> sind. Zwei Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> sind nämlich genau dann zueinander ähnlich, wenn ihre charakteristischen Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xI-A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xI-A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aeb5d21d0cf0aaf43e8a190ddd661f2cc95efb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.085ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle xI-A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xI-B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xI-B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20bfa22c895d7250d3b8e48837688adea9dfabc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.106ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle xI-B}" loading="lazy"> die gleiche Smith-Normalform besitzen. Beispielsweise gilt für folgende Matrizen:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}},&&{\mbox{SNF}}(xI-A)={\begin{pmatrix}1&0\\0&(x-1)^{2}\end{pmatrix}}\\B&{}={\begin{pmatrix}3&-4\\1&-1\end{pmatrix}},&&{\mbox{SNF}}(xI-B)={\begin{pmatrix}1&0\\0&(x-1)^{2}\end{pmatrix}}\\C&{}={\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}},&&{\mbox{SNF}}(xI-C)={\begin{pmatrix}1&0\\0&(x-1)(x-2)\end{pmatrix}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f02271d4022bf796d6bc1d0847f3987d54c9205.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.005ex; width:60.047ex; height:19.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}},&&{\mbox{SNF}}(xI-A)={\begin{pmatrix}1&0\\0&(x-1)^{2}\end{pmatrix}}\\B&{}={\begin{pmatrix}3&-4\\1&-1\end{pmatrix}},&&{\mbox{SNF}}(xI-B)={\begin{pmatrix}1&0\\0&(x-1)^{2}\end{pmatrix}}\\C&{}={\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}},&&{\mbox{SNF}}(xI-C)={\begin{pmatrix}1&0\\0&(x-1)(x-2)\end{pmatrix}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Daher sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> zueinander ähnlich, da die Smith-Normalformen ihrer charakteristischen Matrizen gleich sind, sie sind aber nicht ähnlich zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">, da die charakteristischen Matrizen unterschiedlich sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Frobenius-Normalform" title="Frobenius-Normalform">Frobenius-Normalform</a></li>

<li><a href="Jordansche_Normalform" title="Jordansche Normalform">Jordansche Normalform</a></li>

<li><a href="Singul%C3%A4rwertzerlegung" title="Singulärwertzerlegung">Singulärwertzerlegung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Henry John Stephen Smith: <cite style="font-style:italic">On systems of linear indeterminate equations and congruences</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Philosophical_Transactions_of_the_Royal_Society_of_London" class="mw-redirect" title="Philosophical Transactions of the Royal Society of London">Phil. Trans. R. Soc. Lond.</a></cite> Band 151, Nr. 1, 1861, S. 293–326, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1098/rstl.1861.0016">10.1098/rstl.1861.0016</a>, <a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/108738">108738</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Smith-Normalform&rft.atitle=On+systems+of+linear+indeterminate+equations+and+congruences&rft.au=Henry+John+Stephen+Smith&rft.date=1861&rft.doi=10.1098%2Frstl.1861.0016&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Phil.+Trans.+R.+Soc.+Lond.&rft.pages=293-326&rft.volume=151" style="display:none">  Reprinted. <a href="James_Whitbread_Lee_Glaisher" title="James Whitbread Lee Glaisher">J. W. L. Glaisher</a> (Hrsg.): The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith, Vol. I. Clarendon Press, Oxford 1894, S. 367–409, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/collectedmathema01smituoft/page/366/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a></li>

<li>K. R. Matthews: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.numbertheory.org/courses/MP274/smith.pdf">Smith normal form.</a> (PDF; 143 kB). In: MP274: Linear Algebra. Lecture Notes, University of Queensland, 1991.</li>

<li>G. Kemper, F. Reimers: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-63724-1_7">Kapitel 7: Normalformen.</a> In: Lineare Algebra. Springer Spektrum Berlin, Heidelberg, 2022.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/GausssAlgorithmForPrincipalIdealDomains">Smith normal form.</a> In: <a href="PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>. (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/ExampleOfSmithNormalForm">Example of Smith normal form.</a> In: <a href="PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>. (englisch)</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-02-04" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Smith-Normalform&oldid=252980112">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>